不定积分

　　大致分为以下几类积分：有理函数积分，三角函数积分，无理函数积分，反三角积分。
　　
　　１.反三角积分——被积表达式中出现反三角函数
　　　　消除反三角函数，因为反三角函数没有积分公式。
　　　　方法是使用第二类换元法把整个反三角换掉（相当于把x换成三角，三角复合反三角达到消除效果）；或分部积分法。

　　２.无理函数积分——被积表达式含有根号
　　　　分为两种：可以使用三角换元的，以及不能使用三角换元的。
　　　　2.1可以使用三角换元的：令x = asint/acost/atant/asect...，化为三角函数积分。
　　　　2.2不可以三角换元的：将根式换掉，化为有理函数积分

　　3.三角函数积分——被积表达式含有三角函数
　　　　技巧法（不一定成功）：令sinx = t或cosx = t...，或直接用三角变换积分。
　　　　万能法：令tanx/2 = t，然后使用万能公式将原积分转化为有理函数积分。

　　4.有理函数积分——一般为分式，分子分母都为多项式
　　　　分为两类——真分式与假分式，但归根结底一个字：拆。
　　　　4.1真分式：
　　　　　一般方法——部分分式法：
　　　　　　分母可因式分解为一次式的k次方与二次式的一次方的乘积时可以使用，具体见p116例题12
　　　　　特殊方法：
　　　　　　对于分母而言，思考如果分子是什么形式会使得整体可积。这些分子形式的线性组合是否能成为已有分子。
　　　　4.2假分式——化为真分式

定积分

　　前四种方法与不定积分相同。
　　但都可以考虑对称性与周期性。无理函数积分为二次式开根号的，就可以画圆。
　　新增公式：半π找n次，整π可提x。
　　●对于上下限有x，被积表达式亦有x的定积分函数，需通过拆项或换元，尽量把被积表达式中的x提到积分符号外面去，让被积表达式中不要出现x。

高等数学重要定理总结

定理是证明题的关键，包括著名定理与小定理。

一、函数、极限与连续

1.最值定理：函数在一个闭区间内连续则必有最大值与最小值
2.有界性定理：函数在一个闭区间内连续则必有界
3.介值定理：函数在一个闭区间内连续且区间端点函数值不相等，则该闭区间内必有一点的函数值介于端点函数值之间
　　扩展：函数在一个闭区间内连续且区间端点函数值不相等，则该闭区间内必有一点的函数值介于该区间内的最大值与最小值之间（常与1共同使用）
4.零点定理：函数在一个闭区间内连续且区间端点函数值符号相反，则该闭区间内至少有一点的函数值为0
　　（可用于证明方程根的存在性）

5.极限的有界性：
　　-数列若收敛(n->∞的极限存在)则必有界
　　-函数若在一点处极限存在，则在该点去心邻域有界
6.极限的保号性：
　　-数列在n->∞时有一个正数极限，则肯定有一点之后的所有值都大于0，反推成立，反之亦然
　　-函数若在一点处有一个正数极限，则存在一个距离δ，在范围为该距离的去心邻域内的所有点函数值都大于0，反推成立，反之亦然

7.夹逼准则：略
8.单调有界准则：单调有界数列必有极限

二、导数、微分与中值定理

1.费马引理：可导函数在一点取极值，则该点导数为0
　　(因可导即左导=右导，而左导右导符号相反而得证)
2.罗尔中值定理：函数在闭区间连续，开区间可导，若在该区间两端点函数值相等，则区间内必有一点导数值为0
　　（由最值定理+费马引理证出，可用于证明方程根的存在性）
3.拉格朗日中值定理：函数在闭区间连续，开区间可导，则该区间内必有一点的导数值等于该区间端点连线的斜率
　　（由辅助函数——端点连线与函数值的差值，应用罗尔定理得到）
4.柯西中值定理：两函数在闭区间连续，开区间可导，则增量比值=一点处导数比值
　　（启发来源为拉格朗日中值定理的参数方程形式，证明由辅助函数——定理表达式全移到一边，应用罗尔定理得到）

三、不定积分与定积分

1.原函数存在定理：函数的连续闭区间上必有原函数
　　（导数存在要求Δy/Δx比值极限存在，极限存在要求左右极限相等，即导数处处不突变。只有连续函数才能成为导数）

高等数学重要定义整理

一、函数、极限与连续

1.函数：两个数集之间多对一的映射关系
2.复合函数：数集A与数集B有多对一的关系，数集B与数集C亦有多对一的关系，A映射出来的B必须有一个以上的元素可以映射C，就称A到C的映射关系为复合函数
3.反函数：两个数集之间一对一的映射关系
4.数列的极限：数列一定能在未来某个时候(n > N)达到接近一个常数的要求(ɛ)，该常数称为该数列的极限
5.函数的极限：
5.1 自变量趋于无穷大时的极限：函数一定能在未来某个时候(|x| > X)达到接近一个常数的要求(ɛ)，该常数称为该函数趋于无穷大时的极限（把绝对值拿掉可区分趋于正无穷与负无穷的极限）
5.2 自变量趋于有限值时的极限：函数一定能在靠近该有限值的某个时候(0 < |x - x0| < δ)达到接近一个常数的要求(ɛ)，该常数称为该函数趋于有限值时的极限（把绝对值拿掉可区分左极限右极限）
6.无穷大：一个函数，在一点或无穷远处要多大有多大
7.无穷小：一个函数，在一点或无穷远处要多小有多小
8.在x0连续：在点x0的邻域内有定义，且x0到两侧点不突变（limΔy = lim(f(x0+Δx) - f(x0) = 0)————Δy是无穷小
9.间断点：在某点处不连续的点
9.1 第一类间断点：较为温和的间断点
9.1.1 可去间断点：左右极限存在且相等
9.1.2 跳跃间断点：左右极限存在但不等
9.2 第二类间断点：变化较为剧烈
9.2.1 无穷间断点：在一点处趋于无穷
9.2.2 振荡间断点：sin(1/x)的x=0点

二、导数与微分

1.一点导数：Δy与Δx的比值的极限。特别注意Δy一定是一动一静。
2.一点微分：增量Δy的线性主部f'(x0)Δx(即Δx->0时,Δy与dy互为等价无穷小)。特别注意Δy一定是一动一静。
3.一点可导：该点某邻域有定义，且Δy与Δx的比值的极限存在（即左极限等于右极限且极限不为无穷）————Δy是Δx的同阶或高阶无穷小
4.一点可微：该点某邻域有定义，且A为常数————Δy是Δx的同阶或高阶无穷小
5.区间上可导/可微：区间上每一点都可导/可微（分为开区间与闭区间）

三、微分中值定理及导数应用

1.费马引理：可导函数极值点处的导数为0
2.极值点：在点x0的邻域内有定义，且该点函数值在该邻域内最大/最小
3.驻点：导数为0的点
4.在区间I上是凹的：f(x)在I上连续，且任意两点中值小于均值(f((x1+x2)/2) < ((f(x1)+f(x2))/2))
5.在区间I上是凸的：f(x)在I上连续，且任意两点中值大于均值(f((x1+x2)/2) > ((f(x1)+f(x2))/2))
6.拐点：连续曲线弧上凹与凸的分界点
7.渐近线：
水平渐近线——limf(x) = A
铅直渐近线——limf(x) = ∞
斜渐近线 —— lim(f(x) - ax - b) = 0

四、不定积分

1.原函数：在一个区间内的每一个点原函数求导都为该函数
2.不定积分：一个函数的原函数的全体