高等数学刷题心得

不定积分

　　大致分为以下几类积分：有理函数积分，三角函数积分，无理函数积分，反三角积分。
　　
　　１.反三角积分——被积表达式中出现反三角函数
　　　　消除反三角函数，因为反三角函数没有积分公式。
　　　　方法是使用第二类换元法把整个反三角换掉（相当于把x换成三角，三角复合反三角达到消除效果）；或分部积分法。

　　２.无理函数积分——被积表达式含有根号
　　　　分为两种：可以使用三角换元的，以及不能使用三角换元的。
　　　　2.1可以使用三角换元的：令x = asint/acost/atant/asect...，化为三角函数积分。
　　　　2.2不可以三角换元的：将根式换掉，化为有理函数积分

　　3.三角函数积分——被积表达式含有三角函数
　　　　技巧法（不一定成功）：令sinx = t或cosx = t...，或直接用三角变换积分。
　　　　万能法：令tanx/2 = t，然后使用万能公式将原积分转化为有理函数积分。

　　4.有理函数积分——一般为分式，分子分母都为多项式
　　　　分为两类——真分式与假分式，但归根结底一个字：拆。
　　　　4.1真分式：
　　　　　一般方法——部分分式法：
　　　　　　分母可因式分解为一次式的k次方与二次式的一次方的乘积时可以使用，具体见p116例题12
　　　　　特殊方法：
　　　　　　对于分母而言，思考如果分子是什么形式会使得整体可积。这些分子形式的线性组合是否能成为已有分子。
　　　　4.2假分式——化为真分式

定积分

　　前四种方法与不定积分相同。
　　但都可以考虑对称性与周期性。无理函数积分为二次式开根号的，就可以画圆。
　　新增公式：半π找n次，整π可提x。
　　●对于上下限有x，被积表达式亦有x的定积分函数，需通过拆项或换元，尽量把被积表达式中的x提到积分符号外面去，让被积表达式中不要出现x。